Additive Zahlentheorie: Zweiter Teil Spezielle Zahlenmengen by Hans-H. Ostmann

By Hans-H. Ostmann

Der hier vorliegende Bericht ist der zweite Teil des Ergebnisberichtes über additive Zahlentheorie und behandelt, wie schon im Vorwort des ersten Teils erwähnt, spezielle Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen. Für die Untersuchung solcher Mengen genügt zumeist schon die Kennt­ nis gewisser Struktureigenschaften, so daß die gewonnenen Resultate in der Regel gleich für ganze Klassen von Mengen Gültigkeit haben. Dieser Gesichtspunkt ist namentlich für die Abschnitte 18, 19 und 20 maßgebend. - Entsprechend der Entwicklung allgemeiner Begriffs­ bildungen und Sätze innerhalb der additiven Zahlentheorie, wie der Dichtentheorie, der Theorie der Basismengen usw., interessiert natur­ gemäß die Kenntnis der diesbezüglichen wesentlichen Größen bei speziellen Mengen. Insbesondere ordnet sich diesem Gesichtspunkt ohne weiteres auch die Aufgabe unter, die charakteristischen

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Die asym- m=lm ptotische Basiseigenschaft für v = 1 ergibt sich folgendermaßen: Sind a, b, c, d paarweise teilerfremde ,,-abundante Zahlen, so sind wegen a(a b) = a(a) a(b) > ,,2 a b, a(c d) > ,,2 c d die teilerfremden Zahlen ab und cd sicher ,,2-abundant. 1. gibt es aber unendlich viele paarweise teilerfremde 2-abundante Zahlen, so daß nacft dem eben Bewiesenen diese Eigenschaft auch für alle " zutrifft. Bemerkung. Ist v ;;;:; 2, so trifft die asymptotische Basiseigenschaft für \H xv nicht mehr für alle" < C(v) zu, da man sonst vermittels teilerfremder Elemente auch zu Werten" > C (v) aufsteigen könnte, was unmöglich ist.

B"mB); siehe auch Satz 18ff. weiter unten. Ferner beweist ZULAUF [2] auf diesem Weg als Verallgemeinerung von Satz 5 den folgenden ebenfalls auf v. D. CORPUT [5J zurückgehenden Satz: Es sei m ~ 1 beliebig ganz, und es seien ~, a2 zu m teilerfremde Zahlen. Dann besitzt die Menge in aller geraden Zahlen 2 n ~ a2 (m), die nicht in der Form = + 2 n = PI + P2' PI = a 1 (m), pz - a2(m); PI> P2 Primzahlen, darstellbar sind, die natürliche Dichte Null. Genauer gilt N (x) = 0 (_x_)x , log'" a. > 0 beliebig, x > 2.

5. Die oben erwähnte Beweisführung enthält auch eine gewisse Verbindung zum sogenannten TARRV-EscoTT-Problemkreis (auch Theorie der multigraden Gleichungen genannt, bzw. equal sums of like powers). Darunter versteht man die - zur Theorie der DIOPHANTIschen Gleichungen gehörige - 58 21. Die Primzahlen und verwandte Mengen. Aufgabe. das Gleichungssystem (es sei etwa s x~" + x;" + ... + x:" = Y~" ::s: t) + Y~" + ... + y7" (u = 1, 2, ... , k), nicht trivial in positiven ganzen Xi. Y; simultan zu lösen.

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